Ефимов Владислав Яковлевич 19 ноября 2018

МОУ «Тираспольская средняя школа-комплекс № 12» 
 
Математика
5-6 классы
Основные понятия.
  
Подготовил:
учитель математики первой
квалификационной категории
Ефимов В.Я.
 
г. Тирасполь, 2017 г.


 
Математика - эталон самого надёжного
и точного знания, которого человечество
 только в состоянии достичь.
 
Математика - символ мудрости науки,
 образец научной строгости и простоты,
эталон совершенства и красоты в науке.
 

Математика полна противоречий. Разве это
 может оставить кого-нибудь равнодушным?
 
 
а       +          b          =         c
 

  1.  
ЗАКОНЫ:    a+b = b+a       (a+b)+c = a+(b+c)       a+0 = 0+a = a
если одно из слагаемых оставить без изменения, а другое увеличить (уменьшить) на несколько величин, то сумма увеличится (уменьшится) на столько же единиц.
----------------------------------------------------------------------------
    а         -            b      =         c
                       уменьшаемое    вычитаемое        разность
ЗАКОНЫ:      a – 0 = a             a -  a = 0
Если уменьшаемое оставить без изменения, а вычитаемое уменьшить (увеличить), то разность увеличится (уменьшится) на столько же единиц.
Если вычитаемое оставить без изменения, а уменьшаемое увеличить (уменьшить)на несколько единиц, то разность увеличится (уменьшится) на столько же единиц
----------------------------------------------------------------------------
    а           ·          b        =      c
  1. множитель   2 множитель     произведение
ЗАКОНЫ:    a ∙ b = b ∙ a      (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
(a+b) ∙c = aс+bc    (a - b) ∙c = a с- bc       a ·1=1·a = a
Если один множитель оставить без изменения, а другой увеличить (уменьшить) в несколько раз, то значение произведения увеличится (уменьшится) во столько же раз.
а      :        b        =        c
   делимое     делитель          частное
ЗАКОНЫ:
  • 0 ׃ а = 0
  • а  ׃ 1= а
  • а : а =1
  • a ׃ 0
 
Если делимое увеличить (уменьшить) в несколько раз и во столько же раз увеличить (уменьшить) делитель, то частное не изменится.
         Делителем числа а  называется число, на которое делится число а без остатка.
Кратным числу а называется число, которое делится на а без остатка.
Все числа, кратные 2 называются чётными, а числа, не кратные 2, называются нечётными.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: само это число и 1.
Натуральное число называют составным, если оно имеет  более двух  делителей.
Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Набольшим общим делителем  (НОД) чисел называется наибольшее число, на которое делятся данные числа без остатка.
Если НОД чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
  1. каждое число разложить на простые множители;
  2. выделить те простые множители, которые есть в разложении каждого числа;
  3. найти произведение этих множителей.
Наименьшим общим кратным чисел (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из чисел без остатка.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
  1. каждое из чисел  разложить на простые множители;
  2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  3. приписать к ним из разложений других чисел все множители, которых нет в разложении этого числа;
  4. найти значение получившегося произведения.
 
а · b = НОД(а, b)  · НОК(а, b)
 
Произведение а ·  а · а... ·  а  в котором п множителей называют степенью числа а, где а – основание степени, п – показатель степени. Пишут так: 
 Делимость.
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Если одно из слагаемых не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число не делится.
Если каждое из чисел  делится на некоторое число, то и разность делится на это число.
Если одно из чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то разность на это число не делится.
Признаки делимости.
            Натуральное число делится на 2 , если оно оканчивается  цифрой (0,2,4,6,8).
           Натуральное число делится на 5 , если его запись оканчивается  цифрой  0  или  5.
           Натуральное число делится на 4, если последние две цифры в его записи образуют число, которое делится на 4.
          Натуральное число делится на 3 (9) , если  сумма его цифр  делится на 3 (9).
          Натуральное число делится на 25, если оно оканчивается на  00, 25, 50, 75.
          Натуральное  число делится на 10 без остатка, если его запись оканчивается  цифрой  0.
         Натуральное число делится на 11, если  разность сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах делится на 11.
         Натуральное число делится на 8, если последние три цифры в его записи образуют число, которое делится на 8.
 
Обыкновенные дроби.
Числа, записанные в виде  , где а и в – натуральные числа, называются обыкновенными дробями.
Число под чертой показывает, на сколько равных частей разделили целое. Это число называют знаменателем дроби.
Число над чертой показывает , сколько таких частей взяли.
Это число называют числителем дроби.
Результат деления одного натурального числа на другое можно записать в виде обыкновенной дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель – делителю:
                           4 : 3 =
Дробь называется правильной, если её числитель, меньше знаменателя.
Дробь называется неправильной, если числитель больше знаменателя или равен ему.
Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, надо:
  1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
  2. в целой части смешанного числа записать неполное частное;
  3. в числителе дробной части записать остаток;
  4. в знаменателе дробной части записать знаменатель неправильной дроби.
 
Основное свойство дроби.
 
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на любое число, то получится дробь, равная данной.
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы,  называется сокращением дроби.
Если числитель и знаменатель дроби – взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
 
Сравнение дробей.
 
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой  числитель больше.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Наименьшее  общее кратное чисел, записанных в знаменателе, принято называть наименьшим общим знаменателем.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
  1. найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей;
  2. найти дополнительные множители для каждой дроби, разделив для этого наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Способы сравнения дробей:
1)  Привести к одинаковому знаменателю.
2)  Привести к одинаковому числителю.
3)  Сравнить дроби с    .
4)  Сравнить с 1.
5) Найти частное. (Если а ׃ b больше 1, то  а > b).
Действия над обыкновенными дробями.
Чтобы сложить (отнять) дроби с равными знаменателями, надо сложить (отнять) их числители, а знаменатель оставить без изменения.    
Чтобы сложить (отнять) дроби с разными знаменателями, надо привести их к одинаковому знаменателю и сложить (отнять) их.
Чтоб  умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Чтобы умножить дроби надо умножить числители и результат записать в числителе, умножить знаменатели и результат записать в знаменателе.      .
Если произведение двух чисел рано 1, то такие числа называются обратными.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
Чтобы разделить дробь на дробь надо первую дробь умножить на дробь, обратную данной.
Чтобы найти часть от числа, нужно число умножить на данную дробь.
Чтобы найти число по его части, надо эту часть разделить на дробь.
Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Десятичные дроби.
 
Дроби со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. называются десятичными.
 
Сотни тысяч Десятки тысяч Тысячи Сотни Десятки Единицы   Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные Стотысячные
8 7 6 4 4 3 , 2 1 9 8 7
Если к десятичной дроби приписать справа несколько нулей, то получится равная ей дробь.
Десятичные дроби так же, как и натуральные числа, сравниваются поразрядно, начиная с единиц высшего разряда.
Чтобы сравнить десятичные дроби надо:
  1. Приравнять количество знаков после запятой.
  2. Отбросить запятую.
  3. Сравнить как целые числа.
Чтобы сложить десятичные дроби надо:
  1. Приравнять количество знаков после запятой во всех слагаемых.
  2. Подписать так, чтобы запятая была под запятой.
  3. Сложить как целые числа, не обращая внимания на запятую.
  4. В результате поставить запятую под запятой.
 
Чтобы умножить десятичные дроби надо:
  1. Умножить числа не обращая внимания на запятую.
  2. В результате отделить справа столько знаков, сколько в каждом множителе вместе.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т,д, надо перенести запятую вправо на 1, 2, 3 знака.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т,д, надо перенести запятую влево на 1, 2, 3 знака.
Чтобы разделить число на десятичную дробь надо:
  1. В делителе и делимом перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе.
  2. Разделить как на целое число.
 
Проценты.
 
Процентом называется сотая часть числа.
            Чтобы заменить проценты дробью, надо разделить число процентов на 100.
            Чтобы записать десятичную дробь в виде процентов, надо её умножить на 100.
           Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на число процентов и разделить на 100.
          Чтобы найти число по его проценту, надо число разделить на число процентов и умножить на 100.
 
Отношения и пропорции.
 
Частное двух чисел называют отношением этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.
           Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
         Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.
 
Рациональные числа.
 
        Числа со знаком « - » называют отрицательными.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
        Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.
        Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
        Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.
         Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
  1. сложить их модули;
  2. поставить перед полученным числом знак   « - » . 
 
   Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
  1. из большего модуля слагаемых вычисть меньший;
  2. поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
 
Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
        Чтобы умножить (разделить) два числа с разными знаками, надо перемножить (разделить) модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - ».
 
Чтобы перемножить (разделить) два отрицательных числа, надо перемножить (разделить) их модули.
            Число, которое можно записать в виде отношения , где a – целое число, а n – натуральное число, называют рациональным числом.
    
Раскрытие скобок.
 
          Если перед скобками стоит знак « + », то можно опустить скобки и этот знак« + », сохранив знаки слагаемых, стоявших в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком  « + ».
 Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « - », надо заменить знак на « + », поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
             Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом ( или просто коэффициентом).
Коэффициент такого выражения, как а или ав, считают 1, а выражения  – а считают число – 1.
          Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
 
Решение  уравнений.
Уравнение Решение Уравнение Решение
a + x = c  x = c – a х + b = c         x = c – b
a – x = c x = a – c х – b = c  x = b + c     
a · x = c       x = c ׃ a х · b = c x = c ׃ b
a ׃ x = c x = a ׃ c х ׃ b = c x = b · c

 
                  Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
                 Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одно части уравнения в другую, изменив при этом его знак.
 
Геометрия.
    • А             • В      Точки А,В,С
         • С
прямая АВ или а 
 прямые а и в - пересекаются в точке М.
               отрезок ВС 
               луч ОА
                     О – начало отсчёта
           
Луч, с выбранным началом, единичным отрезком и направлением,  называется координатным лучом.
А(5). Число 5 называется координатой точки.
Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
                         Р = (а + b) ·2 ;    S = a · b.
   Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.
                             Р = 4а;  S = .
 
Прямоугольный параллелепипед
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вершина     ребро                    грань
S = (ab + ac + bc) ·2 ;     V = a · b · c
 
Куб
 

S =
V =
 
 
 
 
      Прямые линии, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными. a b.
     Прямые линии, которые пересекаются под прямым углом, называют перпендикулярными. a  b.
     Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом.
 

Угол, меньший прямого, называют острым.
 
 
Угол, больший прямого, называют тупым углом. 
 
 
Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называют развернутым.
 
          А                            В                           С
 
Развернутый угол равен сумме двух прямых угла.
 
Градус – единица измерения углов.
 
Если два угла
имеют общую
сторону, а две
другие являются
дополнительными,
то такие углы называются смежными.
Сумма смежных углов равна .
 
Если стороны одного угла
являются продолжением сторон
другого, то углы называются
вертикальными.
 Вертикальные углы равны.
 
         Луч, с началом в вершине угла, который делит угол пополам, называется биссектрисой.
        Сумма углов любого треугольника равна .
 
 
 
Окружность и круг.
         Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
        Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности,  называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
       Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
 
хорда
 

                                                                                радиус
 
 

                                                                   диаметр
Кругом называется множество точек плоскости, удаленных от данной точки на расстоянии, меньшим или равным данному числу.
  , где  с – длина окружности, d – диаметр,    π 3,1415926…
C = π d = 2πR, где R – радиус окружности.
Площадь круга:   S = .
 
 
 
Быстрое умножение на 11
 
Чтобы  умножить двузначное число на 11 надо между цифрами вставить их сумму. Например: 26 умножить на 11. Сумма цифр равна 8 (2+6=8), следовательно, результат умножения будет 286. Надо  48 умножить на 11. Сумма цифр равна 12 (4+8=12), следовательно, результат умножения будет 528 (единицу прибавить к первой цифре 4+1=5).
 
2.Возведение в квадрат двузначного числа, которое оканчивается цифрой 5.
 
Чтобы  возвести в квадрат двузначное число , которое оканчивается цифрой 5  надо цифру десятков увеличить на 1, умножить на предыдущую и к результату приписать число 25. Например: 65 возвести в квадрат. Цифра десятков равна 6, увеличив ее на 1, получим 7. Умножим 7 на 6 и к результату припишем 25. Результат 4225. Пусть надо 95 возвести в квадрат. Цифра десятков равна 9, увеличив ее на 1, получим 10. Умножим 10 на 9 и к результату припишем 25. Результат 9025. (Этим правилом можно пользоваться для возведения в квадрат любого числа, которое оканчивается пятеркой).
 
3.Быстрое деление на 25.
 
     Чтобы  разделить число на 25 надо это число умножить на 4 и разделить  на 100. Например, 32: 25 = 32 :100=1,28.
 
4.Быстрое деление на 5.
 
Чтобы  разделить число на 5 надо это число умножить на 2 и разделить  на 10. Например, 32: 5 = 32 :10=6,4.
 
5.Быстрое умножение на 5.
 
Чтобы  умножить число на 5 надо это число разделить на 2 и умножить  на 10. Например, 72  = 72 : 2 = 360.